Anders Martin-Löfs matematiska arbeten

Introduktion

Anders Martin-Löf gick bort 25 februari 2026, strax innan sin 86:e födelsedag. Anders avlade civilingenjörsexamen i teknisk fysik vid KTH i början av 60-talet och fortsatte därefter forska med inriktning mot optimeringslära och statistisk mekanik. Efter forskningsvistelser bland annat vid MIT och Rockefeller University i New York, disputerade han i maj 1973 vid KTH med Frank Spitzer som opponent. Han innehade därefter docenttjänster vid Uppsala universitet och Stockholms universitet, innan han lämnade akademin för att bli chefsaktuarie vid Folksam. Efter några år återvände han och tillträdde Cramérprofessuren i Försäkringsmatematik och matematisk statistik vid Stockholms universitet, där han stannade till sin pensionering. Anders var mycket brett kunnig inom matematiken och dess tillämpningar. Han var prestigelös och drevs att ett genuint intresse för de problem han studerade. Det gjorde att han förblev aktiv även efter pensioneringen och han var en flitig besökare vid seminarier inom många olika matematiska områden. Här beskriver vi några områden där Anders bidrog med viktiga resultat.

Statistisk mekanik

Under Anders tidigaste år som forskare arbetade han till största delen inom statistisk mekanik, där sannolikhetsteori och statistik kombineras för att studera makroskopiska egenskaper hos fysikaliska system som är uppbyggda av ett stort antal mikroskopiska enheter. En gas består till exempel av ett så stort antal molekyler att en fullständig beskrivning av systemet är utom räckhåll. Vill man studera makroskopiska egenskaper hos gasen, såsom tryck, temperatur och entropi, är ett möjligt angreppssätt att i stället betrakta molekylernas beteende som slumpmässigt. Slumpmässigheten ärvs då av de makroskopiska storheterna och, med hjälp av stora talens lag eller generaliseringar kända som ergodsatser, kan det sedan ibland visas att den makroskopiska storheten beskrivs väl av sitt medelvärde. Andra probabilistiska metoder kan också användas för att härleda ekvationer som beskriver relationer mellan olika makroskopiska variabler. Slumpmässighet används således för att hantera brist på information – oavsett om verkligheten i en djupare mening är slumpmässig eller inte, så kan sannolikhetsteoretiska modeller användas för att beskriva fysikaliska fenomen och dra slutsatser om dessa.

En av de mest grundläggande modellerna inom statistisk mekanik är Ising-modellen. Den beskriver ferromagnetism och baseras på spin-variabler ($+1$ eller $-1$) associerade med noderna i ett lattice. Ett sannolikhetsmått, känt som Boltzmann-måttet, konstrueras sedan på spin-konfigurationerna. Betrakta till exempel det kvadratiska latticet $Z^2$ och låt $\omega ={\left\{{\omega }_x\right\}}_{x\in Z^2}$ vara en spin-konfiguration på dess noder, med ${\omega }_x\in \{+1,-1\}$. Interaktionen mellan grannoder $x$ och $y$ beskrivs av koefficienter ${\{J_{xy}\}}_{|x-y|=1}$ och energin hos en konfiguration (utan externt fält) ges av $H(\sigma )=-\sum _{|x-y|=1}{J}_{xy}{\omega }_x{\omega }_y$. Sannolikheten för en given konfiguration beror av en parameter $\beta >0$, känd som den inversa temperaturen, och ges av

$\rho (\omega )=e^{-\beta H\left(\omega \right)}{Z}_{\overline{\beta }}^{-1},$

där $Z_{\beta }$ är en normaliserande konstant känd som partitionsfunktionen. Om $J_{xy}>0$ för alla $x$, $y$ så blir energin liten för konfigurationer där grannoder tenderar att ha samma spin och sådana konfigurationer premieras då av sannolikhetsmåttet. Parametern $\beta$ beskriver hur stark preferensen är. Modellen är känd för att uppvisa en fasövergång i $\beta$: För $\beta >{\beta }_c$ ses en ferromagnetisk fas där sannolikhetsmassan koncentreras till de konfigurationer där alla spin har samma värde ($+1$ eller $-1$), för $\beta <{\beta }_c$ ses en oordnad fas där massan är spridd över många olika typer av konfigurationer.

Anders visade en rad resultat för olika versioner av Ising-modellen. Samtliga är publicerade i Communications in Mathematical Physics, som är den ledande tidskriften inom matematisk fysik. Anders samarbetade med väletablerade personer inom området som Giovanni Gallavotti och Joel Lebowitz. Exempel på resultat inkluderar rigorösa argument för kopplingen mellan en ferromagnetisk fas och spin-korrelationer som inte går mot 0 med avståndet mellan noder [4]. Specifikt visade Anders, tillsammans med Gallavotti, att man för höga temperaturer ser korrelationer som inte går mot 0, medan man för låga temperaturer får asymptotiskt okorrelerade spin. I ett annat arbete [9] studerade han Ising-modellen på en torus med olika typer av randvillkor och visade att det under vissa förutsättningar uppstår två regioner, en med positiv magnetisering och en med negativ. Han studerade också kurvan som separerar dessa regioner. Slutligen undersökte han i [11] egenskaper hos den så kallade fria energin vid låga temperaturer och visade centrala gränsvärdessatser för olika storheter i samma regim.

Anders intresse för statistisk mekanik kulminerade i en mycket välskriven översikt av ämnet som publicerades av Springer Lecture Notes in Physics 1979. I översikten hos MathSciNet kan man läsa: “The author has written very well presented notes for a mathematically oriented introduction to the subject. He says they are intended to bridge the gap between the treatment in physics textbooks and the in the moder presentations of mathematically rigorous results. He has succeeded admirably in his intention.”

Försäkringsmatematik

Anders var innehavare av Cramérprofessuren i Försäkringsmatematik och matematisk statistik under 20 års tid. Liksom sin föregångare Harald Cramér kombinerade Anders en djup förståelse för verkliga försäkringsfrågeställningar, från sin tid som chefsaktuarie på Folksam, med att vara en brilliant matematiker. De försäkringsmatematiska artiklar som Anders skrev är publicerade i tidskriften Scandinavian Actuarial Journal.

Artiklarna kännetecknas av en förhållandevis lättläst framställning av den matematiska analysen. Det framgår tydligt att Anders inte såg ett värde i en alltför teknisk inramning av sina originella idéer. Målet var inte att bygga den mest allmänna teorin, men snarare att låta enkla och eleganta argument övertyga läsaren om att de frågeställningar han studerade och de lösningar han förespråkade är de mest naturliga. I linje med denna strävan efter avskalad enkelhet betraktade Anders typiskt enkla stokastiska modeller i exempel som illustrerade de lösningsmetoder han presenterade. Detta visar på en pedagogisk skicklighet och ett självförtroende hos någon som inte behöver bevisa sina matematiska färdigheter.

Liksom Harald Cramér och andra framstående matematiker med intresse för verklighetens problem såg Anders försäkringsverksamhetens praktiska utmaningar som en utgångspunkt för att formulera matematiska frågeställningar vars lösningar kräver kreativitet och kombination av tillämpad matematik av olika slag. Kombinationen av sannolikhetsteori och kontrollteori för dynamiska system är ett återkommande tema i Anders försäkringsmatematiska forskning.

Anders intresserade sig för teori och tillämpningar av optimal styrning av stokastiska processer, ett tema som passar mycket naturligt till frågeställningar inom försäkring. I [10] studeras optimal styrning av Markovkedjor. Mer specifikt studeras hur en försäkringstagare ska agera givet att försäkringsbolaget tillämpar ett bonussystem, där en rapporterad skada innebär en premiehöjning. Artikeln tillhandahåller en beslutsregel, framtagen med hjälp av Markovska beslutsprocesser och dynamisk programmering, som anger vilka skador som försäkringstagaren bör rapportera trots att det innebär en försämring i form av en övergång till ett sämre tillstånd i bonussystemet. Ett försäkringsbolags (ekonomiska) tillstånd kan beskrivas som ett dynamiskt system i många tidsindexerade variabler såsom skadekostnad, premienivå, storlek på reserver, nivå på överskott etc. Genom att specificera hur dessa variabler uppdateras och beror av tidigare värden fås ett stokastiskt dynamiskt system. Eftersom vissa av variablerna kan väljas kan systemet styras. Genom att beskriva vad som är önskvärt (stabila premier, stort överskott, etc.) kan ett optimalt stokastiskt kontrollproblem formuleras. I [13] beskriver Anders hur tekniker från linjär styrteori kan säkerställa systemets stabilitet och optimala styrning.

Som beskrivits ovan hade Anders ett stort intresse för och djup kunskap om teoretisk fysik vilket naturligt gjorde att han kunde se naturliga kopplingar mellan detta ämnesområde och försäkringsmatematik. I [16] härleds asymptotiska egenskaper för den s.k. ruinsannolikheten, en klassisk storhet inom försäkringsmatematik. Anders argumenterar i artikeln för att entropibegreppet och termodynamik i allmänhet kan möjliggöra effektiv analys av klassiska frågeställningar inom försäkringsmatematik.

Traditionell matematisk livförsäkringsanalys involverar en mängd förenklande antaganden och implementeringen kräver diverse ad-hoc-regler för bland annat hantering av överskott till följd av att verkligheten är mer komplex än den modell som antagits. I [15] kritiserar Anders den traditionella analysen och visar på hur en mer realistisk modell tillsammans med teori för dynamiska stokastiska system kan erbjuda ett bättre alternativ.

Baserat på en kurs som Anders gav för Svenska Aktuarieföreningen skrev Anders översiktartikeln [18] som visade på hur användbar optimal kontrollteori för Markovkedjor är för att analysera frågeställningar inom försäkring. Nu, mer än tre årtionden senare, kan man konstatera att Anders har haft rätt i sin återkommande betoning av detta ämnesområde. Optimal kontrollteori, Markovska beslutsprocesser och dynamisk programmering har blivit standardbegrepp inom en stor del av modern försäkringsmatematik.

Anders organiserade Harald Cramér-symposiet 1993 som syftade till att belysa Harald Cramérs (1893-1985) mångsidiga och mycket inflytelserika forskning inom talteori, sannolikhetsteori, statistik och försäkringsmatematik. I samband med detta sammanställde Anders de två samlingsvolymerna [21] och [22] som publicerades av Springer 1994. Flera av de ingående arbetena är svåråtkomliga idag och många har visat tacksamhet över Anders värdefulla redaktörsarbete som möjliggjorde samlingsvolymerna.

Epidemimodellering

Ett annat av Anders forskningsområden var smittspridningsmodellering, eller som det då kallades, epidemimodellering. Den grundläggande modellen kallas SIR (susceptible – infectious – recovered) som beskriver en situation där individer först är mottagliga. Om de smittas blir de smittsamma, och när smittperioden är till ända blir de immuna och förblir så under resten av utbrottet. I stokastiska epidemimodeller, som Anders intresserade sig för, så betraktar man en stor men ändlig population av storlek $n$, och smittade personer antas ha smittsama kontakter med andra individer oberoende av varandra, med sannolikhet $p_n=1-e^{-\lambda /n}$, där smittsamma kontakter resulterar i smitta om den andra personen är mottaglig, men inte annars. Det förväntade antalet smittsamma kontakter är således $(n-1)p_n\approx (n-1)\lambda /n\approx \lambda$. Inledningsvis kommer nästan alla sådana kontakter vara med mottagliga individer, så $\lambda$ blir också genomsnittligt antal personer som man smittar i inledningen av utbrottet, något som brukar kallas det basala reproduktionstalet och skrivas $R_0$, så $R_0=\lambda$ för denna modell. De två fallen $\lambda \le 1$ eller $\lambda >1$ har kvalitativt olika beteende: Om $\lambda \le 1$ kommer utbrottet inte kunna ta fart, men om $\lambda >1$ så kan ett stort utbrott ske (om än inte säkert – av en slump kan utbrottet likväl dö ut tidigt).

Men kommer alla smittas om $\lambda >1$? Nej. Ju fler som smittas under utbrottet, desto fler av de smittsamma kontakterna kommer att ”slösas” på redan smittade. Om andelen mottagliga har sjunkit till $s<1$ så kommer en smittad person ju i genomsnitt smitta ${\lambda }_s$ individer. Så när $s<1/\lambda$, dvs när fler än $1-1/\lambda$ har smittats (och är immuna mot att smittas), så kommer en smittad person i genomsnitt smitta färre än en person och då kommer smittspridningen avklinga. Av denna anledning sägs flockimmunitet ha uppnåtts när andelen $1–1/\lambda$ har smittats.

Anders första (och viktigaste) artikel [1] inom smittspridning skrevs 1980 tillsammans med Bengt von Bahr, Anders företrädare på Cramérprofessuren. I denna artikel analyserar de denna smittomodell (inkl vissa generaliseringar) rigoröst. Redan innan fanns heuristiska resonemang om att inledningen av epidemin asymptotiskt liknar en förgreningsprocess, där levande (smittsamma) individer föder (smittar) ett Poissonfördelat antal barn (individer) med väntevärde $\lambda$, och de härleder även fördelningen för totalt antal födda barn i denna förgreningsprocess (som har positiv sannolikhet att växa obegränsat om $\lambda >1)$. I samma artikel visar de även det svårare resultat som säger att det totala antalet individer $X_n$ som smittas (under förutsättning att epidemin tar fart) är asymptotiskt normalfördelat: $n^{-1/2}(X_n-nz)\to N(0,{\sigma }^2)$. Beviset går ut på att härleda i vilket läge en sorts slumpvandring korsar en rät linje, och bygger till viss del på ett tidigare arbete av Anders [11]. Resultatet fick stor uppmärksamhet eftersom man tidigare endast heuristiskt hade antagit motsvarande resultat för andelen $z$ som kommer smittas, samt att ett explicit uttryck för variansen ${\sigma }^2$ erhölls. I artikeln gör de även den viktiga kopplingen mellan ett smittoutbrott och en slumpgraf (antalet smittade har samma fördelning som antal individer som hänger samman med indexfallen i en Erdös-Renyi graf). I en senare artikel [17] generaliserar Anders resultaten till en mer allmän modell där en smittad individ har $Y$ smittsamma kontakter, för en godtycklig slumpvariabel $Y$ och där individerna väljs likformigt i populationen) – i föregående artikel antogs $\mathrm{Bin}(n,1-e^{-\lambda /n})\approx \mathrm{Po}(\lambda )$.

Som påpekats var båda dessa artiklar uppmärksammade internationellt, och Anders blev ofta inbjuden till workshops om smittspridningsmodellering. Resultaten var också mycket viktiga för avdelningen för Matematisk statistik på Matematiska institutionen vid SU, eftersom de var startskottet för forskningsområdet smittspridningsmodellering som lever än idag vid institutionen. Först ut att fortsätta i området var Gianpaolo Scalia Tomba och Åke Svensson som då var doktorander och senare blev lektorer och professorer (Gianpaolo flyttade senare till Rom). Generationen efter dessa bestod av Håkan Andersson och Tom Britton, som även de innehaft/innehar anställning på avdelningen. Efter det har ytterligare ca 10 personer doktorerat i forskningsområdet.

Senare i karriären skrev Anders ytterligare några artiklar inom smittspridningsmodellering. I [19] studerar Anders en ”nästan kritisk” epidemi, med $\lambda =1+c/n^{-1/3}$, dvs man smittar aningen mer än en person i genomsnitt. Asymptotiskt visar det sig då att cirka $c{n}^{2/3}$ kommer smittas, och i bevisen använder Anders att smittoprocessen konvergerar mot en sk Airy-funktion. I Anders sista artikel om smittspridning [2] studerar han, tillsammans med Tom och Svante Janson, en smittomodell där smittspridningen sker på ett (socialt) nätverk. Mer precist härleds hur många som kommer smittas om personer har vaccinerats i förväg, enligt olika vaccinationsstrategier.

Sankt Petersburg-spelet

Anders sista vetenskapliga arbeten handlade om Sankt Petersburg-spelet. Anders hade intresserat sig för detta redan i ett par tidigare arbeten och återvände till ämnet i slutet av sin karriär, då i samarbete med Allan Gut, professor emeritus i Uppsala. Det klassiska Sankt Petersburg-spelet definieras, i en uppdaterad version av Daniel Bernoullis orignalformulering, som följer: Peter kastar ett symmetriskt mynt tills han får krona. Om detta inträffar i omgång k, betalar han Paul $2^k$ dukater. Vad är värdet av spelet för Paul? Om X betecknar Pauls vinst, så gäller att

$P(X=2^k)=\frac{1}{2^k},k=1,2,\dots .$

Med en dubbleringsstrategi, är Pauls nettovinst alltså alltid 1. Väntevärdet för $X$ är dock oändligt och ger alltså ingen vägledning kring vad Paul bör vara villig att betala för att delta i spelet. Detta är känt som Sankt Petersburg-paradoxen, eftersom det bygger på antagandet att Paul har ett oändligt kapital att tillgå. En variation är att låta insatsen vara en funktion av antalet spel, vilket leder till den välkända Feller-lösningen [3]: Om $X,X_1,X_2,\dots$ är oberoende stokastiska variabler fördelade enligt ovan, och $S_n=\sum _{k=1}^n{X}_k,n\ge 1$, så gäller att

$\frac{S_n}{n{\log }_{2}n}\stackrel{p}{\to }1$ då $n\to \infty$

där ${\log }_u(.)$ betecknar logaritmer med avseende på basen $u>0$. Mer om spelets historik finns i Anders artikel [14] från 1985. Eftersom $E\left(X\right)=\mathrm{\infty }$, så argumenterar Feller för att $n{\log }_{2}n$ är ett rimligt pris att betala för att delta i $n$ spel, och motiverat av detta visade Anders en mer precis gränsvärdessats i [14]. Med hjälp av ett sofistikerat förnyelseargument och introduktion av Poissonprocesser visar han att, om $T_N=(S_N-N{\log }_{2}N)/\sqrt{N}$, så gäller, för $N=2^n$, att $T_N$ konvergerar i fördelning mot en oändligt delbar och semistabil gränsfördelning med den explicita karaktäristiska funktionen $\phi (t)={\mathrm{e}}^{g(t)}$, där

$g(t)=\sum _{k=-\infty }^0{2}^{-k}(\exp \{it{2}^k\}-1-it{2}^k)+\sum _{k=1}^{\infty }{2}^{-k}(\exp \{it{2}^k\}-1)$

Baserat på detta resultat härleds en tumregel för vad Paul bör vara beredd att betala för att delta i spelet, med den egenskapen att sannolikheten att han går bankrutt inom $N=2^n$ omgångar är liten.

Senare, i [20], studerade Anders två modifieringar av spelet. Den första är trunkering, där Paul har ett ändligt kapital $2^a$. Eftersom sannolikheten att överleva en omgång är $1-2^{-a}$, så följer det att antalet omgångar innan spelet är över, $M_a$, är geometriskt fördelat med parameter $2^{-a}$. Det medför att $2^{-a}{M}_a$ konvergerar i fördelning mot en standard exponentialfördelad variabel $U$ och att det för nettovinsten, $V_a=M_a-\left(2^a-1\right)$, gäller att $2^{-a}{V}_a$ konvergerar mot $U-1$ när $a\to \mathrm{\infty }$. I den andra modifieringen introducerar Anders ränta på kapitalet och visar en gränsvärdessats av samma slag som ovan.

Anders samarbetade därefter i flera artiklar med Allan Gut. Bland annat studerade de i [5] asymetriska versioner av spelet, där fördelningen för vinsten ges av

$P(X=s{r}^{(k-1)/\alpha })=p{q}^{k-1},k=1,2,\dots ,$ där $s=1/p$ och $r=1/q.$

I [7] studerade de en situation där det största värdet tas bort så att den relevanta storheten blir $S_n-{\max }_{1\le k\le n}{X}_k$, så kallad max-trimning. Eftersom variablerna är diskreta är maximum inte nödvändigtvis unikt, vilket gör att man behöver introducera ${\tau }_n=$ antal maximala observationer efter $n$ omgångar, och den modifierade summan $S_n-{\tau }_n\cdot {\max }_{1\le k\le n}{X}_k$. I [6] studeras på motsvarande sätt min-trimning och extrem-trimning, och i [8] behandlas en kombination av trimning och asymmetri.

Tom Britton, Maria Deijfen, Allan Gut och Filip Lindskog